Exercices de MPSI

[matmeca_mcf1]

Un exercice interessant est de montrer les relations de comparaisons :
par exemple pour tout $ a > 0, b > 0, \lim \limits_{x\rightarrow\infty} log(x)^b \times x^{-a} = 0 $
Même en deuxième année beaucoup ne savent plus le montrer.

Première étape, se ramener à la limite de $ \log(x)/x $. C'est une bonne habitude de simplifier la démonstration d'un résultat en se ramenant à un cas particulier du cas général. Surtout si cela élimine des paramètres du résultat que l'on veut obtenir. C'est rarement strictement nécessaire mais cela aide quand même: ici, il n'y a que deux paramètres mais des fois il y en a une dizaine ou plus.

[noro]

Un exercice interessant est de montrer les relations de comparaisons :
par exemple pour tout $ a > 0, b > 0, \lim \limits_{x\rightarrow\infty} log(x)^b \times x^{-a} = 0 $
Même en deuxième année beaucoup ne savent plus le montrer.

Première étape, se ramener à la limite de $ \log(x)/x $. C'est une bonne habitude de simplifier la démonstration d'un résultat en se ramenant à un cas particulier du cas général. Surtout si cela élimine des paramètres du résultat que l'on veut obtenir. C'est rarement strictement nécessaire mais cela aide quand même: ici, il n'y a que deux paramètres mais des fois il y en a une dizaine ou plus.

On peut aussi prendre b=1 et a=2 qui est plus simple à montrer

[noro]

@noro:
On a bien l'inégalité stricte à l'arrivée car sinon f serait affine sur un intervalle non trivial ce qui contredit l'inégalité stricte sur les dyadiques

C'est vrai, mais c'était pas si clair

[donnerwetter]

Si vous voulez autre chose que du calcul, un petit problème qui initie aux outils de sups pour montrer un joli résultat. C'est peut-être un peu long et ambitieux, je me rends pas bien compte.

Si $ u $ est une suite réelle, on dit que $ x \in \mathbb{R} $ est adhérent à $ u $ s'il existe une sous-suite de $ u $ qui converge vers $ x $. Par exemple, 1 est point adhérent de $ ((-1)^n)_{n \in \mathbb{N}} $.

a) (i) Montrer le théorème de Bolzano-Weierstrass : toute suite bornée admet une valeur d'adhérence. Indic : on pourra considérer l'ensemble des indices $ n $ tels que $ \forall m>n, u_m \geq u_n $.
(ii) Soient $ p \in {\mathbb{Z}}^{\mathbb{N}}, q \in {\mathbb{N^*}}^{\mathbb{N}} $ tels que $ p_n/q_n \to \lambda $ irrationnel. Montrer que $ q_n \to + \infty $

b) Soit $ n \in \mathbb{N^*} $.
(i) Ici $ \lambda $ est dans ]0,1[. Montrer que $ [|0,n|] \to [|0,n|], a \mapsto E(n(a*{\lambda}-E(a*{\lambda}))) $ n'est pas injective et en déduire : $ \exists p,q \in \mathbb{N}, 0<q \leq n, p \leq q $ tels que $ |q*{\lambda}-p|<1/n $.
(ii) En déduire pour $ \lambda $ irrationnel quelconque : $ \exists (p/q) \in {\mathbb{Q}}^{\mathbb{N}}, q_n \to \infty, 0<|\lambda-p_n/q_n|<1/q_n^2 $

Application.
(i) Montrer que pour tout x dans [-pi,pi], $ |sin(x)| \leq |x| $
(ii) Déduire de ce qui précède : $ (n* \sin(n)) $ admet une valeur d'adhérence dans [-1,1].

A titre culturel, il me semble que la densité de $ (n* \sin(n) $ dans $ \mathbb{R} $ est toujours un problème ouvert.

[Errys]

Ma solution pour la question a (je ferais la question b plus tard, j'ai cours après):

SPOILER:

(i) Soit $ (u_n) $ une suite bornée, montrons que cette suite admet une valeur d'adhérence. Pour cela, on pose $ A = \{n\in\mathbb{N}, \forall m\ge n,
u_m\ge u_n\} $. On a deux cas :
- Soit A est fini, ce qui veut dire qu'à partir d'un certain rang $ n_0 $, pour tout entier $ n\ge n_0 $, il existe $ m>n $ tel que $ u_m < u_n $. Ainsi, on peut extraire une sous-suite décroissante. Or, toute suite décroissante et minorée converge, donc $ (u_n) $ admet une valeur d'adhérence.
- Sinon, A est infini, dans ce cas là, on prend une sous-suite $ (\phi_n)\in \mathbb{N}^A $ strictement croissante (qui existe vu que A est infini et non majoré), on vérifie sans peine que $ (u_{\phi_n}) $ est croissante. De plus, elle est majorée donc elle converge. Ainsi $ (u_n) $ admet une valeur d'adhérence.

(ii) Supposons par l'absurde que $ (q_n) $ ne diverge pas vers $ +\infty $, donc $ (q_n) $ est majorée. Or, comme $ (q_n) $ est à valeur dans $ \mathbb{N} $, $ (q_n) $ est minorée par 0 donc elle est bornée. Ainsi, $ (q_n) $ admet une valeur d'adhérence $ x $ d'après (i).
Soit $ (\phi_n) $ une sous_suite strictement croissante qui converge vers $ x $. Il est clair que $ (p_{\phi_n}/q_{\phi_n}) $ converge vers $ \lambda $. De plus, comme $ (q_{\phi_n}) $ admet une limite finie, $ (p_{\phi_n}) $ est bornée sinon $ (p_{\phi_n}/q_{\phi_n}) $ diverge vers $ \pm \infty $. Ainsi, d'après (i), $ (p_{\phi_n}) $ admet une valeur d'adhérence $ y $. On pose $ (\psi_n) $ une sous_suite de $ (p_{\phi_n}) $ telle que $ (p_{\psi_n}) $ converge vers $ y $.
Il nous reste à vérifier que $ x $ et $ y $ sont des entiers. Supposons que $ x\in\mathbb{R} \backslash\mathbb{Z} $ (la démonstration se fera de la même manière pour y). On pose $ \varepsilon = \min(x - E(x), E(x) + 1 - x) $. Or, il n'existe pas d'entiers $ n $ avec $ E(x)<n<E(X)+1 $. On a une contradiction d'après la définition de la convergence et le fait que $ (q_{\psi_n}) $ est à valeur dans $ \mathbb{N}^* $. D'où $ (x,y)\in\mathbb{N}^*\times\mathbb{Z} $. On en déduit que :
$ \lim_{n\to+\infty}\dfrac{p_{\psi_n}}{q_{\psi_n}} = \dfrac{y}{x}\in\mathbb{Q} $
Ce qui est absurde, donc $ (q_n)\longrightarrow +\infty $

J'ai pas tout tout rédigé par manque de temps mais si vous voulez que je précise certains points il y a pas de problèmes, je le ferais ce soir en rentrant. Merci pour l'exercice.

[Krik]

$ (q_n) $ ne diverge pas vers $ +\infty $, donc $ (q_n) $ est majorée.

Exercice : trouver un contre-exemple à cette affirmation.

$ (p_{\phi_n}) $ est bornée sinon $ (p_{\phi_n}/q_{\phi_n}) $ diverge vers $ \pm \infty $.

Pareil pour ça. C'est la même erreur : il y a des suites non bornées qui ne divergent pas vers +-l'infini.

[donnerwetter]

Désolé, qqs erreurs s'étaient glissées dans l'énoncé, ce sera corrigé.
Errys : les idées sont là mais en effet la 1ère affirmation de la question (ii) est fausse.

[Zetary]

@Zetary, voici ma solution pour ton exercice :

SPOILER:

Ainsi, on peut calculer la limite de $ I_n $ en encadrant :

$ -M_n\displaystyle\int_{0}^{p/q}\sin(x)dx \le I_n \le M_n\displaystyle\int_{0}^{p/q}\sin(x)dx $
$ \iff -M_n (1-\cos(p/q))\le I_n \le M_n(1-\cos(p/q) $
Or, $ -M_n(1-\cos(p/q))\longrightarrow 0 $ et $ M_n(1-\cos(p/q))\longrightarrow 0 $. D'où $ I_n\longrightarrow 0 $

Bravo ! Comme il a été dit, montrer que puissance/factorielle tend vers 0 se fait bien avec une comparaison géométrique. Il faudrait juste un petit argument genre la positivité du sinus sur l'intervalle considéré pour justifier l'encadrement, et tu n'as pas répondu à la question de savoir si $ (I_n) $ atteint ou non sa limite. Cependant, voici comme promis la suite (et fin)

Montrer que (pour tout n) $ f_n $ et toutes ses dérivées successives ne prennent que des valeurs entières en 0 et en p/q

Montrer la formule d'intégration par parties : pour $ f,g \in \mathcal{C}^1([0;p/q],\mathbb{R}) $ on a
$$ \int_0^{p/q} f'(x)g(x)dx = f(p/q)g(p/q) - f(0)g(0) - \int_0^{p/q} f(x)g'(x)dx $$

Montrer que $ \pi $ est irrationnel.

Have fun

[Errys]

Woops, j'ai écrit n'importe quoi ^^ Un contre exemple :
$ q_n = 0 $ si $ n $ pair ou $ q_n = n $ si n impair

Voici une solution qui je pense, est correcte:

SPOILER:

Supposons, par l'absurde que $ (q_n) $ ne converge pas vers $ +\infty $. Ainsi :

$ \exists A>0, \forall n_0\in\mathbb{N}, \exists n>n_0, u_n < A $

Soit $ E = \{n\in\mathbb{N}, u_n < A\} $. Tout d'abord, E est infini. En effet, si E est fini alors en posant $ n_0 = max(E) $, on trouve un $ n>n_0 $ tel que $ u_n<A $ d'où $ n\in E $ ce qui est absurde car $ n > max(E) $. Donc E est infini.
De plus $ E\subset \mathbb{N} $. Comme toute partie non vide de $ \mathbb{N} $ est minorée, E admet un plus petit élément.

On définit la suite $ (\phi_n) $ de la manière suivante :
$ \phi_0 = \min(E), \forall n\in\mathbb{N}, \phi_{n+1} = \min(E\backslash\{\phi_0, \ldots, \phi_n\}) $

Ainsi, $ (q_{\phi_n}) $ est minorée par 0 et majorée par A donc bornée. D'après (i), $ (q_{\phi_n}) $ admet une valeur d'adhérence x. De plus, $ x\neq 0 $ car $ q_n\ge 1 $ pour tout $ n\in\mathbb{N} $. On extrait donc une sous-suite $ (q_{\psi_n}) $ de $ (q_{\phi_n}) $ qui converge vers x. Ainsi :

$ \lim\limits_{n\to+\infty} \left(q_{\psi_n} \times \left(\dfrac{\psi_n}{q_{\psi_n}}\right)\right) = x\times \lambda $
Soit $ \lim\limits_{n\to+\infty}p_{\psi_n} = x\lambda $

Or, $ x\neq 0 $ donc $ x\lambda\in \mathbb{R}\backslash\mathbb{Q} $ ce qui est absurde. En effet, $ (p_{\psi_n}) $ est à valeur dans $ \mathbb{Z} $, en posant $ \varepsilon = \min(x\lambda - E(x\lambda), E(x\lambda)+1-x\lambda) $. Il n'existe pas d'entier $ n $ tel que $ |n - x\lambda| < \varepsilon $ car cela revient à trouver un entier entre deux entiers consécutifs. Donc $ (p_{\psi_n}) $ ne peut pas converger vers $ x\lambda $.
D'où :

$ q_n\longrightarrow +\infty $

[Errys]

@Zetary, voici ma solution pour ton exercice :

SPOILER:

Ainsi, on peut calculer la limite de $ I_n $ en encadrant :

$ -M_n\displaystyle\int_{0}^{p/q}\sin(x)dx \le I_n \le M_n\displaystyle\int_{0}^{p/q}\sin(x)dx $
$ \iff -M_n (1-\cos(p/q))\le I_n \le M_n(1-\cos(p/q) $
Or, $ -M_n(1-\cos(p/q))\longrightarrow 0 $ et $ M_n(1-\cos(p/q))\longrightarrow 0 $. D'où $ I_n\longrightarrow 0 $

Bravo ! Comme il a été dit, montrer que puissance/factorielle tend vers 0 se fait bien avec une comparaison géométrique. Il faudrait juste un petit argument genre la positivité du sinus sur l'intervalle considéré pour justifier l'encadrement, et tu n'as pas répondu à la question de savoir si $ (I_n) $ atteint ou non sa limite. Cependant, voici comme promis la suite (et fin)

Montrer que (pour tout n) $ f_n $ et toutes ses dérivées successives ne prennent que des valeurs entières en 0 et en p/q

Montrer la formule d'intégration par parties : pour $ f,g \in \mathcal{C}^1([0;p/q],\mathbb{R}) $ on a
$$ \int_0^{p/q} f'(x)g(x)dx = f(p/q)g(p/q) - f(0)g(0) - \int_0^{p/q} f(x)g'(x)dx $$

Montrer que $ \pi $ est irrationnel.

Have fun

Merci pour la suite.
Je n'avais pas trouvé pour $ (I_n) $. Je vais continuer à chercher encore un peu. Je m'attaque à la suite de ton exo après avoir (peut-être) finis celui qui m'a été donné aujourd'hui.

D'ailleurs, les autres lycéens qui veulent faire prépa sur ce forum, rejoignez moi ! Les problèmes sont vraiment intéressants