J'ai repris l'exercice 14 à zéro. Trouver la contradiction, ça m'a pris un peu de temps
SPOILER:
Soit $ (U_n) $ la suite définie par :
$ \forall n \in \mathbb N, U_{n+1} = \sqrt{U_n} + \displaystyle\frac{1}{n+1} $ et $ U_{0}\ge0 $.
- On peut démontrer par récurrence que pour tout $ n \in \mathbb N^* $, $ U_n $ est à valeurs dans $ [1;+\infty[ $.
- Supposons que $ (U_n) $ converge vers un réel $ \ell $.
$ \displaystyle\frac{1}{n+1} $ est négligeable (car $ \displaystyle\frac{1}{n+1} \rightarrow 0 $ mais je ne sais toujours pas si on a le droit de retirer $ \displaystyle\frac{1}{n+1} $ ^^) donc $ U_n \rightarrow \ell $ et $ U_{n+1} \rightarrow \sqrt{\ell} $. La fonction $ f : x \in \mathbb R_+ \mapsto \sqrt{x} $ est continue sur $ \mathbb R_+ $ donc en $ \ell $.
Par unicité de la limite, $ \ell = \sqrt{\ell} \Rightarrow \ell = 1 $ (car $ U_n $ est à valeurs dans $ [1;+\infty[ $ pour tout $ n≠0 $.)
- Démontrons que $ (U_n) $ est convergente.
Supposons qu'il existe un entier $ N $ tel que $ U_{N+1} \leq U_{N} $. Il est facile de constater que cela implique $ U_{N+2} \leq U_{N+1} $. Par récurrence, on en déduit qu'à partir du rang $ N $ s'il existe, $ (U_n) $ est décroissante.
Ainsi, soit $ (U_n) $ est strictement croissante, soit $ (U_n) $ est décroissante à partir d'un certain rang $ N $.
D'après ce qu'il précède, si $ (U_n) $ converge vers un réel $ \ell $ alors $ \ell = 1 $. Or $ U_n $ est à valeurs dans $ [1;+\infty[ $ pour tout $ n≠0 $ donc si $ (U_n) $ est strictement croissante, alors $ (U_n) $ diverge nécessairement vers $ +\infty $.
Raisonnons par l'absurde et supposons que $ (U_n) $ est strictement croissante et donc diverge vers $ +\infty $.
D'où $ U_{n+1} - U_n = \sqrt{U_n} + \displaystyle\frac{1}{n+1} - U_n > 0 \Leftrightarrow U_n ( \displaystyle\frac{1}{\sqrt{U_n}} + \displaystyle\frac{1}{U_n(n+1)} - 1 ) > 0 \Leftrightarrow \displaystyle\frac{1}{\sqrt{U_n}} + \displaystyle\frac{1}{U_n(n+1)} > 1 $
Or $ U_n \rightarrow + \infty $ donc $ \displaystyle\frac{1}{\sqrt{U_n}} + \displaystyle\frac{1}{U_n(n+1)} \rightarrow 0 $.
Par définition, pour tout $ \varepsilon >0 $, on a à partir d'un certain rang $ \mid \displaystyle\frac{1}{\sqrt{U_n}} + \displaystyle\frac{1}{U_n(n+1)} \mid < \varepsilon $.
Il suffit de prendre $ \varepsilon = 1 $ pour voir une contradiction.
Donc $ (U_n) $ n'est pas strictement croissante.
On en déduit donc que $ (U_n) $ est décroissante à partir d'un certain rang. De plus, $ (U_n) $ est minorée par $ 1 $ pour $ n ≠ 0 $. Donc $ (U_n) $ est convergente.
On va montrer que les deux suites convergent vers 1.
Pour cela, on va raisonner par l'absurde en supposant qu'au moins l'une d'elle ne converge pas vers 1.
Sans perdre de généralités, on va supposer que c'est la suite $ (u_n) $.
En utilisant la définition de la convergence vue en terminale, cela veut dire qu'il existe un intervalle ouvert contenant 1 qui ne contient pas toutes les valeurs de la suite $ (u_n) $ à partir d'un certain rang.
Ainsi, soit $ ]1-\varepsilon; 1+\varepsilon[ $ un intervalle qui ne contient pas toutes les valeurs à partir d'un certain rang.
Comme $ \lim\limits_{n\to+\infty}u_nv_n=1 $, il existe un rang N tel que pour tout $ n\ge N $, $ u_nv_n\in ]1-\varepsilon;1+\varepsilon[ $.
De plus, d'après la non convergence de $ (u_n) $ vers 1, il existe un $ n\ge N $ tel que $ 0\le u_n\le 1-\varepsilon $. Or, comme $ 0\le v_n\le 1 $, on obtient :
$$ 0\le u_nv_n\le 1-\varepsilon $$
Soit $ u_nv_n\notin]1-\varepsilon;1+\varepsilon[ $. Ce qui est absurde.
$ (u_n) $ bornée donc elle admet une sous-suite convergente, si cette sous-suite converge vers $ l<1 $ alors on arrive à une contradiction.
Donc $ \limsup\limits_{n\to+\infty}u_n=\liminf\limits_{n\to+\infty}u_n = 1 $ d'où $ u_n\rightarrow 1 $ et donc $ v_n\rightarrow 1 $.
D'autant plus qu'il manque un argument pour traiter le cas des racines multiples...
En fait, si $z$ et une racine de multiplicité n de $P$, $conj(z)$ sera aussi une racine de multiplicité n de $P$, etc... (il suffit pour s'en convaincre de reprendre le même argument avec $P'(x)$ ).
Du coup ça marche ^^
Dernière modification par Wazzi le 29 juin 2018 15:48, modifié 1 fois.
Errys, j'ai simplifié, dis moi si c'est cela jt'avoue que le truc télescopé (désolé d'écorcher le nom xD) ne m'a pas trop aidé, j'avais essayé de transformer le "a_n" en "b_n+1 - b_n" mais j'ai clairement pas réussi, du coup j'ai décomposé la somme et avec un ptit jeu d'indice ça se simplifie très vite
Je récapitule les exercices qui ont déjà été posté :
Soit $ f:x\mapsto x+1 $ et $ g:x\mapsto \frac {x}{x+1} $.
Montrer que l'on peut obtenir la fraction $ \frac{7891}{1987} $ à partir de la valeur 1, en appliquant successivement $ f $ ou $ g $. Y-a-t-il plusieurs solutions ?
Problème 2 : (peut-être trop simple, trop dur, ou trop connu, désolé… ) : Alice et Bertrand jouent à un jeu avec un cavalier et un échiquier 8*8.
D'abord, Alice choisit de placer le cavalier où ça l'arrange sur l'échiquier et colorie la case où elle l'a posé.
Après quoi, Bertrand doit déplacer le cavalier (à noter que le cavalier se déplace en L, regardez wikipédia si vous connaissez pas les règles des échecs). Il colorie la case ou le cavalier vient d'arriver.
Alice fait ensuite de même, puis Bertrand, et ainsi de suite.
Il est interdit de déplacer un cavalier sur une case coloriée. Un joueur qui n'a pas de coup légal perd la partie.
En admettant qu'Alice et Bertrand soient tous deux médaille Fields, lequel des deux gagnera ?
Problème 3 : Soit $ f $ une fonction continue de $ [0;1] $ dans $ \mathbb{R} $. On suppose que $ f(0) = f(1) = 0 $ et que pour tout $ x\in[0;0.7] $, $ f(x)\neq f(x+0.3) $.
Montrer que $ f $ s'annule au moins 7 fois.
Problème 4 : On note E(x) la partie entière du réel x. E(X) est le plus grand entier $ n\le x $.
Calculer, pour tout réel $ x\ge 0 $ les intégrale suivantes
$$ A_x = \int_{0}^x E(t)dt $$
Et plus dur :
$$ B_x = \int_{0}^{x}E(2^t)dt $$
Problème 5 :
Trouver le minimum de : $ \sum \limits_{i=1}^n (x_i^2-i\times x_i) $.
Attention, si je le donne c'est qu'il existe une solution accessible à partir du programme de TS.
La philosophie derrière les énigmes que je propose c'est de donner des exemples de l'adage :
"ce n'est pas parce que c'est facile à comprendre, que c'est facile à trouver"
Bonne journée.
PS : le i présent dans la formule est le i allant de 1 à n, cela ne signifie pas qu'il y a des complexes !
Problème 7 :
On dispose 1997 jetons sur un cercle. Chaque jeton est numéroté avec un entier relatif. La somme de tous les numéros est égal à 1. Peut-on choisir un jeton telle que si on part de ce jeton en suivant le sens trigonométrique, la somme de tous les jetons que l'on a traversés reste toujours strictement positive? (On s'arrête quand on revient au jeton de départ). Si un tel jeton existe, le choix du jeton est-il unique?
Il est faisable: j'y avais répondu pendant l'épreuve alors que j'étais en terminale.
Problème 8 :
Soit $ f $ une fonction définie et continue sur $ \mathbb R $.
Pour $ a $ dans $ \mathbb R $, on considère la fonction $ g $ définie sur $ \mathbb R \setminus \big\{0\big\} $ par $ g(x) = \displaystyle\frac{1}{x} \displaystyle\int_a^{a+x} f(t)dt $
Soient $ a $,$ b $,$ c $ des entiers strictement positifs, premiers entre eux dans leur ensemble et tels que :
$ \frac{1}{a} +\frac{1}{b} = \frac{1}{c} $
Prouver que $ a+b $ est un carré parfait.
Problème 11 :
Lorsqu'on lance deux dés, il est possible d'obtenir tous les nombres entre 2 et 12. Malheuresement, on ne les tire pas de façon équiprobable : On a 6 fois plus de chances de tirer un 7 qu'un 2 !
Existe-t-il un moyen de piper les deux dés de telle sorte que chaque résultat tombe de manière équiprobable ? (Par "piper", on entend donner à un dé une loi de probabilité non nécessairement égale à $ \frac{1}{6};\frac{1}{6};\frac{1}{6};\frac{1}{6};\frac{1}{6};\frac{1}{6}) $
Pour $ X $ dans $ \mathbb R $, on appelle la partie entière de $ X $ (notée $ \lfloor X\rfloor $) l'unique entier $ p $ tel que $ p \leq X < p+1 $.
Soient $ x $ dans $ \mathbb R $ et $ (U_{n})_{n \in \mathbb N^{*}} $ la suite définie par :
$ \forall n \in \mathbb N^{*} $, $ U_{n} = \displaystyle\frac{1}{n^2} \displaystyle\sum_{k=1}^n \lfloor kx\rfloor $
Montrer que la suite $ (U_{n}) $ converge et calculer sa limite.
On considère un polynôme $ f $ de degré impair. Montrer que l'équation P(x) = 0 admet au moins 1 solution réelle.
On rappelle, qu'un polynôme $ f $ de degré impair, peut être considéré comme une fonction f telle que :
$ \forall x\in\mathbb{R}, f(x) = c_0 + c_1\times x^1+\ldots+ c_{2n+1}x^{2n+1} $
Où n est un entier naturel et $ (c_0,\ldots, c_{2n+1}) $ des réels.
jt'avoue que le truc télescopé (désolé d'écorcher le nom xD) ne m'a pas trop aidé, j'avais essayé de transformer le "a_n" en "b_n+1 - b_n" mais j'ai clairement pas réussi, du coup j'ai décomposé la somme et avec un ptit jeu d'indice ça se simplifie très vite 
) : Alice et Bertrand jouent à un jeu avec un cavalier et un échiquier 8*8.